Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/223

Nous remarquerons maintenant que, quelle que soit la courbe des centres, l’équation

$c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}$

fait voir que le rayon $c$ est égal à l’arc de cette courbe (voir ci-après le n^o 29), de sorte que, si l’on nomme $s$ cet arc, on aura

$c=s+h.$

Nous remarquerons, de plus, que le rayon $c$ sera nécessairement tangent à la même courbe, car l’angle que la tangente de cette courbe fait avec l’axe a pour tangente la quantité ${\frac {b'}{a'}}$ (n^o 7), et, comme le rayon du cercle osculateur est perpendiculaire à la courbe dont les coordonnées sont $x$ et $y$ (n^o 8), la tangente de l’angle qu’il fait avec l’axe sera (n^o 7) $-{\frac {1}{y'}}={\frac {b'}{a'}},$ en vertu de l’équation $1+{\frac {b'y'}{a'}}=0,$ et par conséquent la même que celle de la tangente à la courbe.

Mais, quoique cette propriété soit démontrée de cette manière, il est bon de faire voir qu’elle est une conséquence nécessaire de l’analyse employée dans la solution de la question. Pour cela, nous reprendrons les deux premières équations

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad x-a+y'(y-b)=0,$

lesquelles donnent

$a=x-{\frac {cy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad b=y+{\frac {c}{\sqrt {1+y'^{2}}}},$

et nous observerons que ces expressions de $a$ et $b$ peuvent représenter à la fois les coordonnées de la perpendiculaire à la courbe dont $x$ et $y$ sont les coordonnées, en regardant $x$ et $y$ comme constantes et $c$ comme une variable, ainsi qu’on l’a vu dans le n^o 8, et les coordonnées de la courbe des centres, en regardant $x$ et $y$ comme variables et $c$ comme donnée en $x$ et $y$ (n^o 9).

Donc la perpendiculaire dont il s’agit sera tangente de cette dernière courbe si la fonction prime de $b,$ regardée comme fonction de $a,$ est