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qui, étant combinée avec la première,

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$

donnera sur-le-champ

$x=a+{\frac {ca'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}},\quad y=b+{\frac {cb'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}.$

De plus, si l’on substitue ces mêmes valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation

$x-a+{\frac {b'}{a'}}(y-b)={\frac {cc'}{a'}},$

on aura celle-ci,

$c'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}},$

laquelle, étant combinée avec l’équation

$\varphi (a,b,c)=0$

donnée par le problème, servira à déterminer deux des trois variables $a,b,c$ par la troisième, moyennant quoi les valeurs de $x$ et $y$ seront aussi exprimées par cette seule variable.

23. Comme les quantités $a$ et $b$ sont les coordonnées de la courbe qui est le lieu de tous les centres des cercles osculateurs (n^o 9), si l’on suppose cette courbe donnée, on aura une équation entre $a$ et $b$ par laquelle on pourra déterminer $b$ en $a.$ Soit donc

$b=\varphi (a)\,;$

on aura

$b'=a'\varphi '(a),\quad {\text{et de là}}\quad c'=a'{\sqrt {1+\left[\varphi '(a)\right]^{2}}}.$

Ainsi, en désignant par $\mathrm {A}$ la fonction primitive de $a'{\sqrt {1+\left[\varphi '(a)\right]^{2}}},$ on aura

$c=\mathrm {A} +h,$

$h$ étant une constante arbitraire ; ces valeurs de $b$ et $c$ étant substituées dans les expressions de $x,y,$ on aura la courbe cherchée.