Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/221

(n^o 11), ce qui donnerait une équation du second ordre, d’où il faudrait remonter à l’équation primitive.

Mais, sans chercher cette équation du second ordre, on peut d’abord conclure, de ce que nous venons de démontrer, que l’on aura son équation primitive complète en-supposant les quantités $a,b,c$ constantes, ce qui redonnera la même équation au cercle. On en conclura ensuite que la même équation admettra aussi une équation primitive singulière du premier ordre, qu’on obtiendra en faisant varier les quantités $a,b,c$ de manière que les équations primes et secondes de l’équation au cercle soient les mêmes que si ces quantités étaient regardées comme constantes, et que cette équation primitive représentera alors la courbe ou les courbes formées par la réunion de tous les cercles représentés par la même équation, c’est-à-dire qui envelopperont ou embrasseront tous ces cercles.

Cette équation sera donc, par les principes établis ci-dessus, le résultat de l’élimination des quantités $a,b,c$ et ${\frac {b'}{a'}},{\frac {c'}{a'}}$ entre les trois équations

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},\quad x-a+y'(y-b)=0,\quad \varphi (a,b,c)=0,$

et les équations primes de celles-ci, prises relativement aux seules variables $a,b,c,$ savoir

$(x-a)+{\frac {b'}{a'}}(y-b)={\frac {cc'}{a'}},\quad 1+{\frac {b'}{a'}}y'=0,\quad \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)+{\frac {c'}{a'}}\varphi '(c)=0$

Mais, comme cette équation en $x$ et $y$ pourrait se présenter sous une forme assez compliquée, il sera plus simple de chercher à déterminer les valeurs mêmes de $x$ et $y$ par une troisième variable.

Pour cela, on éliminera d’abord $y'$ au moyen des deux équations

$(x-a)+y'(y-b)=0\quad {\text{et}}\quad 1+{\frac {b'}{a'}}y'=0\,;$

on aura celle-ci,

$x-a-{\frac {a'(y-b)}{b'}}=0,$