primes des fonctions
prises relativement à
et
Donc les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a642ac5bbe0de01f7b218a1096b014c8301489d8)
emporteront encore nécessairement cette autre-ci :
![{\displaystyle a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73499fa0f3c043061014ef4ba0c037fd3dd21dee)
Si donc on combine les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {F} '(a)\ +{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)\ +{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)\ =0,\\&\operatorname {F} '(a)'+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)'+{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)'=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaef9c6681bdd8ff5c421971af5dee946eb3f86f)
avec l’équation
![{\displaystyle \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)+{\frac {c'}{a'}}\varphi '(c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e0519d4381b52702ea05f366ab935c1d1fea18)
qui résulte de
en prenant les fonctions primes, on aura, par l’élimination des quantités
et
une équation en
et
sans
laquelle sera équivalente à celle qu’on aurait déduite des deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d650feb5872e8de15e304771f474b7f2f8bf842)
par l’élimination de
Ainsi, il n’y aura plus qu’à éliminer
au moyen des équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842fce1eb86a89a90e3543e62c02ff633e185aab)
et le résultat final sera la même équation primitive du premier ordre de l’équation
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {P,Q,H} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0bef9ef74abab1d03e36b03d63217b89cc8144)
laquelle, ne contenant point, par sa nature, de constantes arbitraires, ne pourra être qu’une équation primitive singulière.
En effet, si, pour simplifier la solution, on commence par tirer la valeur
de l’équation
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac2f886c15b87ada1742c1416fc6f23d1c46fec)