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du troisième ordre, qui sera le résultat de l’élimination de $a,b,c$ au moyen des trois équations précédentes, combinées avec l’équation tierce (n^o 46, I^re Partie)

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'''=0\,;$

par conséquent, on aura nécessairement

$\mathrm {P'=MV,\quad Q'=NV,\quad R'=LV} ,$

$\mathrm {M,N,L}$ étant des fonctions de $x,y,y'$ et $y''$ sans $y''',$ de sorte qu’en prenant les fonctions primes de l’équation

$\varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,$

on aura

$\mathrm {P'\varphi '(P)+Q'\varphi '(Q)+R'\varphi '(R)=0} ,$

savoir

$\mathrm {V\left[M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)\right]} =0,$

équation qui se partage naturellement dans ces deux-ci,

$\mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)+L\varphi '(R)} =0,$

dont la première est du troisième ordre et dont la seconde n’est que du second.

L’équation $\mathrm {V} =0$ a, comme nous l’avons déjà vu, pour équation primitive complète l’équation même

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

de la courbe du contact, dans laquelle $a,b,c$ sont les trois constantes arbitraires ; mais, comme l’équation du problème

$\varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0$

n’est que du second ordre, il doit y avoir une relation entre ces trois constantes qui les réduise à deux arbitraires, et cette relation est donnée par l’équation

$\varphi (a,b,c)=0,$

qui résulte de la précédente, en substituant les valeurs de $\mathrm {P,Q,R}$ tirées des équations $a=\mathrm {P} ,$ $b=\mathrm {Q} ,$ $c=\mathrm {R} .$