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Prenant l’éduation prime relativement à $b$ et divisant par $b',$ on a

$\left[y+(m-x)b\right](n-x)+\left[y+(n-x)b\right](m-x)=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {(2x-m-n)y}{2(m-x)(n-x)}},$

valeur qui, substituée dans l’autre équation, donnera comme ci-dessus l’équation

$(m-n)^{2}y^{2}+4\mathrm {K} (m-x)(n-x)=0,$

qui renferme la seconde solution.

On peut encore considérer que l’équation

$(a+mb)(a+nb)=\mathrm {K} ,$

qui contient la relation entre $a$ et $b,$ dans laquelle consiste la condition du problème, donne, par la résolution, $a=f(b),$ valeur qui, étant substituée dans l’équation

$y=a+bx,$

la réduit à celle-ci,

$y=f(b)+bx,$

qui ne contient plus que la constante arbitraire $b,$ qu’on éliminera par l’équation prime prise relativement à $b,$ savoir

$f'(b)+x=0,$

ce qui donnera encore le même résultat. Or, par ce qu’on a vu ci-dessus, l’équation

$y=f(b)+bx$

est l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre donnée par le problème ; donc l’équation résultante de l’élimination de $b$ entre celle-ci et l’équation

$f'(b)+x=0$

sera précisément l’équation primitive singulière, d’après la théorie du n^o 60 de la I^re Partie.