où
est une constante arbitraire ; ainsi, par les principes établis dans les nos 46 et suivants de la première Partie, on aura l’équation primitive complète de la proposée en y substituant simplement cette valeur de
Cette équation sera donc de la forme
![{\displaystyle (y-\mathrm {A} x+m\mathrm {A} )(y-\mathrm {A} x+n\mathrm {A} )=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27c60eda0e4f871120258e7720b5d857cee5af1)
savoir, en développant les termes,
![{\displaystyle (y-\mathrm {A} x)^{2}+(y-\mathrm {A} x)(m+n)\mathrm {A} +mn\mathrm {A} ^{2}-\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a760f953077bd91395f152b42e6eba97edc9aa7)
d’où, en extrayant la racine, on tire
![{\displaystyle y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef31a4af734534fddbc402b6162d04f55c765c0)
en prenant pour
la racine de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {B} ^{2}+(m+n)\mathrm {A} \mathrm {B} +mn\mathrm {A} ^{2}-\mathrm {K} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69dd5e995416928c93e1484d12f88f76b5cff127)
D’où l’on voit que l’on n’a de cette manière qu’une équation à la ligne droite.
En effet, l’équation
ayant donné
celle-ci donnera l’équation primitive
![{\displaystyle y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef31a4af734534fddbc402b6162d04f55c765c0)
et
étant deux constantes arbitraires ; mais, par la théorie des numéros cités ci-dessus, ces deux constantes ne peuvent pas être arbitraires à la fois, car il faut que l’équation trouvée coïncide avec la proposée pour une valeur de
or, faisant
on a
![{\displaystyle y=\mathrm {B} ,\quad y'=\mathrm {A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d112319b7a0afdd7a4854bfcdc4b4a6301a6b7)
donc on aura entre
et
cette équation de condition,
![{\displaystyle (\mathrm {B} +m\mathrm {A} )(\mathrm {B} +n\mathrm {A} )=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2116b59951a2eec00c5bfb81cb1cf1f46b33fac2)
qui est la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus pour la détermination de
en ![{\displaystyle \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a778414f6a1907d8bc1577228f859bedad03)
Venons maintenant à l’autre équation, qui n’est que du premier