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où $\mathrm {A}$ est une constante arbitraire ; ainsi, par les principes établis dans les n^os 46 et suivants de la première Partie, on aura l’équation primitive complète de la proposée en y substituant simplement cette valeur de $y'.$

Cette équation sera donc de la forme

$(y-\mathrm {A} x+m\mathrm {A} )(y-\mathrm {A} x+n\mathrm {A} )=\mathrm {K} ,$

savoir, en développant les termes,

$(y-\mathrm {A} x)^{2}+(y-\mathrm {A} x)(m+n)\mathrm {A} +mn\mathrm {A} ^{2}-\mathrm {K} =0,$

d’où, en extrayant la racine, on tire

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,$

en prenant pour $\mathrm {B}$ la racine de l’équation

$\mathrm {B} ^{2}+(m+n)\mathrm {A} \mathrm {B} +mn\mathrm {A} ^{2}-\mathrm {K} =0.$

D’où l’on voit que l’on n’a de cette manière qu’une équation à la ligne droite.

En effet, l’équation $y''=0$ ayant donné $y'=\mathrm {A} ,$ celle-ci donnera l’équation primitive

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires ; mais, par la théorie des numéros cités ci-dessus, ces deux constantes ne peuvent pas être arbitraires à la fois, car il faut que l’équation trouvée coïncide avec la proposée pour une valeur de $x\,;$ or, faisant $x=0,$ on a

$y=\mathrm {B} ,\quad y'=\mathrm {A} \,;$

donc on aura entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ cette équation de condition,

$(\mathrm {B} +m\mathrm {A} )(\mathrm {B} +n\mathrm {A} )=\mathrm {K} ,$

qui est la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus pour la détermination de $\mathrm {B}$ en $\mathrm {A} .$

Venons maintenant à l’autre équation, qui n’est que du premier