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éléments les deux équations

$y-a-bx=0,\quad y'-b=0,$

d’où l’on tire

$b=y'\quad {\text{et}}\quad a=y-xy',$

comme ci-dessus (n^o 6).

Prenons pour la courbe du contact un cercle dont l’équation la plus générale est

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}-c^{2}=0\,;$

elle ne sera susceptible que d’un contact du second ordre, puisqu’il n’y a que trois éléments $a,b,c.$ On déterminera donc ces éléments par les trois équations

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}-c^{2}=0,\ \ x-a+(y-b)y'=0,\ \ 1+(y-b)y''+y'^{2}=0,$

dont la seconde et la troisième sont les équations prime et seconde de la première. De ces équations on tire tout de suite

$y-b=-{\frac {1+y'^{2}}{y''}},\quad x-a={\frac {\left(1+y'^{2}\right)y'}{y''}},\quad c={\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}},$

comme plus haut (n^o 9).

Si l’on prenait l’équation à la parabole

$y=a+bx+cx^{2},$

qui n’a aussi que trois constantes arbitraires, on aurait de même, pour la détermination de ces constantes, regardées comme éléments d’un contact du second ordre, les équations

$y-a-b+cx^{2}=0,\quad y'-b-2cx=0,\quad y''-2c=0,$

lesquelles donnent

$c={\frac {y''^{2}s}{2}},\quad b=y'-xy'',\quad a=y-xy'+{\frac {x^{2}y''}{2}}.$

Mais, si l’on prenait l’équation à la parabole cubique

$y=a+bx+cx^{2}+dx^{3},$