Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/191

10. On peut maintenant présenter cette théorie d’une manière plus générale.

Soient $x,y$ les coordonnées de la courbe proposée, qui peut être quelconque, et $p,q$ les coordonnées de la courbe qu’on veut lui comparer, et qui est supposée donnée.

Supposons que l’équation de cette courbe renferme, avec les variables $p$ et $q,$ des constantes indéterminées $a,b,c,\ldots ,$ et représentons-la par

$\operatorname {F} (p,q,a,b,c,\ldots )=0.$

Si dans cette équation on change $p$ en $x,$ $q$ en $y,$ on a

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )=0,$

équation qui donne la condition nécessaire pour que la courbe donnée ait un point commun avec la courbe proposée.

Dénotons par $\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )'$ la fonction prime, par $\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )''$ la fonction seconde, etc. de la fonction $\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots ),$ en regardant $y$ comme fonction de $x,$ et $a,b,c,\ldots$ comme des constantes.

Cela posé, s’il n’y a que deux constantes indéterminées $a$ et $b,$ et qu’on les détermine par les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0,$

alors la courbe donnée, dont l’équation est

$\operatorname {F} (p,q,a,b)=0,$

sera tangente de la courbe proposée au point où $p=x.$

S’il y a trois constantes indéterminées $a,b,c,$ et qu’on les détermine par les trois équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0,$

la courbe donnée, dont l’équation est

$\operatorname {F} (p,q,a,b,c)=0,$

sera osculatoire de la courbe proposée, c’est-à-dire aura même courbure, au point qui répond à l’abscisse $p=x,$ et ainsi de suite.