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on peut regarder $c$ comme indéterminé dans les expressions de $a$ et $b$ alors ces coordonnées $a$ et $b$ appartiendront à une ligne droite dont l’équation résultera de l’élimination de $c$ et qui sera, par conséquent,

$b=y+{\frac {x-a}{y'}}.$

Cette droite sera donc le lieu des centres de tous les cercles qui peuvent être tangents à la courbe ; elle sera donc normale à la courbe en effet, on voit que l’équation de cette droite, où $a$ et $b$ sont les coordonnées, coïncide avec celle de la normale trouvée plus haut (n^o 7), en y changeant $r$ et $s$ en $a$ et $b.$

9. Maintenant, parmi ces différents cercles qui satisfont aux conditions $\operatorname {F} (x)=f(x)=y,\ \operatorname {F} '(x)=f'(x)=y',$ on peut en trouver un qui satisfasse de plus à la condition $\operatorname {F} ''(x)=f''(x)=y''.$

En effet, ayant trouvé ci-dessus

$\operatorname {F} '(x)={\frac {x-a}{\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}},$

on en déduira

$\operatorname {F} ''(x)=-{\frac {c^{2}}{\left[c^{2}-(x-a)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;$

Ainsi, on aura l’équation

$y''=-{\frac {c^{2}}{\left[c^{2}-(x-a)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;$

or on a déjà trouvé dans le même endroit

${\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}=-{\frac {x-a}{y'}}=-{\frac {c}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\,;$

donc on aura

$y''={\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{c}},$

et de là

$c={\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}.$