on peut regarder
comme indéterminé dans les expressions de
et
alors ces coordonnées
et
appartiendront à une ligne droite dont l’équation résultera de l’élimination de
et qui sera, par conséquent,
![{\displaystyle b=y+{\frac {x-a}{y'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca613204c10219b595d40ac71f2d2ce5adfc25a)
Cette droite sera donc le lieu des centres de tous les cercles qui peuvent être tangents à la courbe ; elle sera donc normale à la courbe en effet, on voit que l’équation de cette droite, où
et
sont les coordonnées, coïncide avec celle de la normale trouvée plus haut (no 7), en y changeant
et
en
et
9. Maintenant, parmi ces différents cercles qui satisfont aux conditions
on peut en trouver un qui satisfasse de plus à la condition
En effet, ayant trouvé ci-dessus
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)={\frac {x-a}{\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9937f759a1c43c559bbbd16378dfc8e2d38cf92)
on en déduira
![{\displaystyle \operatorname {F} ''(x)=-{\frac {c^{2}}{\left[c^{2}-(x-a)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1ef56c93c5988750d89247110fd61972adfadd)
Ainsi, on aura l’équation
![{\displaystyle y''=-{\frac {c^{2}}{\left[c^{2}-(x-a)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff19ce209ed5eb49e920f05730ee578d251f6af)
or on a déjà trouvé dans le même endroit
![{\displaystyle {\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}=-{\frac {x-a}{y'}}=-{\frac {c}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887e88b124a593492664ee6b654437d92dbd021f)
donc on aura
![{\displaystyle y''={\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ed78d56d650df747eb1f36c47d0b08dbcbc5f2)
et de là
![{\displaystyle c={\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fa4394885f15c626a04e5144a6097a57854faf)