Dans l’équation de la ligne droite
![{\displaystyle q=a+bp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5748e2e928b9048dd000b3516b0bc5c12ce3cedd)
il est aisé de voir que
exprime la tangente de l’angle que cette droite fait avec l’axe et que
est l’abscisse qui répond au point où la même droite coupe l’axe. Donc, cette droite étant tangente à la courbe au point où
sera la tangente de l’angle qu’elle fait avec l’axe, et
sera ce qu’on appelle la sous-tangente.
7. Représentons par
![{\displaystyle s=\alpha +\beta r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d913bb2db8ab22068fbd972736939e803e66e8e4)
une autre droite qui passe par le même point de la courbe,
et
étant les deux coordonnées de cette droite ; on aura pour ce point
![{\displaystyle r=p=x,\quad {\text{et}}\quad s=q=y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03b69f95fd0b1a6a7a2d02d839a1363cb1c1d1d)
donc
![{\displaystyle a+bx=\alpha +\beta x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0c7710e15688b8ac89e6d552843fbc8774f131)
Pour que cette droite coupe la première sous un angle dont la tangente soit
comme
et
sont les tangentes des angles que ces deux droites font avec le même axe, on aura, par les formules connues de la Trigonométrie,
![{\displaystyle \beta ={\frac {b+m}{1-bm}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf7961415173c8038b6db624087ac7e11606173)
donc
![{\displaystyle \alpha =a-{\frac {x\left(1+b^{2}\right)m}{1-bm}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb337d2c9c86400df8ac3c4e47113dbcce4272c)
où il n’y aura qu’à substituer les valeurs de
et ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Si l’on veut que cette seconde droite soit perpendiculaire à la tangente, on fera
c’est-à-dire
et l’on aura simplement
![{\displaystyle \alpha =a+x\left(b+{\frac {1}{b}}\right)=y+{\frac {x}{y'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bdcf47079c89f20b9339345eaa08552a29ff77)
et
![{\displaystyle \beta =-{\frac {1}{b}}=-{\frac {1}{y'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7b67976b94079a68e2335fa186dbc61ee759a9)