Ainsi les valeurs de
et
seront déterminées par ces deux conditions, car on aura
![{\displaystyle b=f'(x)\quad {\text{et}}\quad a=f(x)-xf'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1934550da95371b7a1b85c66c8dc9abd60c2b5)
Donc l’équation de la ligne droite deviendra
![{\displaystyle q=f(x)-xf'(x)+pf'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f9e35bc820ec8fe1296012c4ba93c8fb64387de)
et
étant les deux coordonnées et l’abscisse
étant regardée comme constante.
Je dis maintenant que cette droite a la propriété qu’aucune autre droite ne pourra être menée entre elle et la courbe.
Car, soit
![{\displaystyle s=\varphi (r)=g+hr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4b53195a6e53fea996a60f557528b4721466ec)
l’équation d’une autre droite quelconque ; pour qu’elle passe par le même point commun, il faudra que l’on ait aussi
et, pour qu’elle puisse passer entre la courbe et la droite que nous venons de déterminer, il faudra de plus que l’on ait
(no 3) ; ces deux conditions donnent
![{\displaystyle g+hx=f(x)\quad {\text{et}}\quad h=f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b38d4ddb3cc2558dd94d23da471eb16eca23b)
d’où l’on tire, pour
et
les mêmes valeurs que nous venons de trouver pour
et
de sorte que cette dernière droite coïncidera avec la première.
Donc la droite déterminée par l’équation
![{\displaystyle q=a+bp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5748e2e928b9048dd000b3516b0bc5c12ce3cedd)
où
et
sera tangente de la courbe représentée par l’équation
au point qui répond à l’abscisse ![{\displaystyle p=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10d9a3959018807a243aaa1f183b06f00e915fd)
Puisque
on aura, suivant la notation employée dans la première Partie,
![{\displaystyle y'=f'(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0dda1fd6500ad3c8912aba1b0ed25af96391bc8)
donc les expressions de
et
seront plus simplement
![{\displaystyle a=y-xy'\quad {\text{et}}\quad b=y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582db78627f48aee53e7f324b960e1475074d0cf)