Il est clair que la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que pour une valeur quelconque de
aussi petite qu’on voudra, la valeur de
ne surpasse celle de
abstraction faite des signes.
Développons les fonctions
partiellement, suivant la formule du no 40 de la première Partie, et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes. Nommant
une quantité indéterminée, mais renfermée entre les limites
et
on aura, par cette formule,
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5a2000e37691ab216a2239bb73c5b686196a07)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} (x+i)=&\operatorname {F} (x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),\\\varphi (x+i)=&\varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x+j),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ddb30b7b2d09f5cfebd38bc137b61af74921e6)
où la quantité
pourra n’être pas la même dans les trois fonctions, pourvu qu’elle soit renfermée entre les mêmes limites.
Faisant ces substitutions dans les expressions de
et
on aura, à cause de
en vertu du point commun aux trois courbes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} =&i\left[f'(x)-\operatorname {F} '(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+j)-\operatorname {F} ''(x+j)\right],\\\Delta =&i\left[f'(x)-\varphi '(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+j)-\varphi ''(x+j)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a809b2227599a9659d503f1e7aa7c4ddfe84f13)
Supposons maintenant que les deux premières courbes soient telles que l’on ait
la valeur
se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {D} ={\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+j)-\operatorname {F} ''(x+j)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44c8b2d410f06f9d2e46b2d590dceb10e10fa38)
et il est aisé de se convaincre que, tant que le terme affecté de
dans l’expression de
ne sera pas nul, on pourra toujours prendre
assez petit pour que la quantité
devienne plus grande que la quantité
abstraction faite des signes. En effet, en divisant ces deux quan-