donc, passant des fonctions primes relatives à
seul aux fonctions primitives, on aura l’équation primitive
![{\displaystyle z=\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463dc3444fea90e3d8b8d8c5ba9e5b728d8cdc60)
étant une fonction quelconque de
qui peut être ajoutée comme constante, puisque sa fonction prime relativement à
est nulle.
De cette expression de
on tirera celles des deux fonctions primes
et
relatives à
et
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p',\\z_{_{'}}=&-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1af5d1e37a7af7c367b67ae09f9ecfd9b0a164)
ces valeurs étant substituées dans l’équation proposée, elle deviendra
![{\displaystyle a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p'=\mathrm {A} y+\mathrm {B} \left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34f543e0a9d0fb359f71bf1a5a501342f85a61f)
laquelle se réduit à
![{\displaystyle p'=\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98f2a1147c677c615f53fe7f5e88c873b218b6b)
où l’on voit que les
ont disparu, de manière qu’on pourra déterminer
en fonction de
seul.
Qu’on multiplie cette équation par
et qu’on suppose
![{\displaystyle e^{-\mathrm {B} x}f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)=\operatorname {F} '(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f3b7a904694d95c6a010333e9cf10ea83b3a45)
elle deviendra
![{\displaystyle \left(pe^{-\mathrm {B} x}\right)'=\operatorname {F} '(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3b00175f8bb148940fcb7f368ec9d1da784c2b)
et, passant aux fonctions primitives, on aura
![{\displaystyle pe^{-\mathrm {B} x}=\operatorname {F} (x)+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef4675cc5e04f61bba027d1f242f5282121d5ff)
étant une constante arbitraire. De là on tire
![{\displaystyle p=e^{\mathrm {B} x}\left[\operatorname {F} (x)+b\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c43fa9ced8fa0e7c28fefb02296bdb5c9c08331)
donc, substituant cette valeur dans l’expression de
trouvée ci-dessus,