et de là, en prenant les fonctions primes relativement à
et
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)=\mathrm {A} ,\quad \operatorname {F} '(z)=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ce4823f3b07508ee088d12e7af2942d96a9ec5)
de sorte que, en faisant ces substitutions dans les trois équations du premier ordre entre
la première d’entre elles deviendra
![{\displaystyle u'-\mathrm {A-B} u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede6324d251cb5d30cceaadc573c3a8ffbdf25bb)
laquelle ne contenant que la variable
qu’on suppose fonction de
aura une équation primitive indépendamment des deux autres. En effet, si l’on multiplie cette équation par
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, son premier membre deviendra la fonction prime de
![{\displaystyle ue^{-\mathrm {B} x}+{\frac {\mathrm {A} e^{-\mathrm {B} x}}{\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7b9a2c41e16a2e1ad6eb08ada620caf21f3eaa)
comme il est aisé de s’en assurer en cherchant la fonction prime de cette quantité par les formules du Chapitre III.
Ainsi, comme le second membre est nul, on aura, en passant aux fonctions primitives,
![{\displaystyle \left(u+\mathrm {\frac {A}{B}} \right)e^{-\mathrm {B} x}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba201d5376eed470cc6067a331711ab0fdd0182)
étant une constante arbitraire. Cette équation donnera donc
![{\displaystyle u=-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d341c8284f25d2de56cd3d80a652bafa1b40b29)
et, substituant pour
sa valeur
on aura l’équation prime
![{\displaystyle z_{_{'}}=-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794ea034ef1679cf09f915d2425559e49ec6fc57)
dans laquelle,
étant la fonction prime de
relativement à
seul, on pourra regarder
comme constante et
comme fonction de
Ainsi, comme le second membre ne contient ni
ni
sa fonction primitive dans cette supposition sera simplement
![{\displaystyle \left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c296e0f1b65f38a8e8bda2bbb823b04956758cd7)