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riables $x$ et $p,$ dont l’équation primitive donnera la valeur de $p$ en $x,$ avec une nouvelle constante arbitraire $b.$

De cette manière, on aura enfin une valeur de $z$ en $x$ et $y,$ avec deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ qui satisfera à la proposée indépendamment des constantes. Cette valeur ne sera que particulière ; mais on pourra, par la méthode du n^o 83, trouver la valeur générale de $z,$ qui contiendra une fonction arbitraire.

En effet, si

$f(x,y,z,a,b)=0$

est l’équation trouvée pour la détermination de $z,$ on fera $b=\varphi (a),$ et l’on égalera à zéro la fonction prime de $f\left[(x,y,z,a,\varphi (a)\right]$ prise relativement à la quantité $a,$ regardée comme seule variable ; on aura une équation qui servira à déterminer $a,$ et l’équation

$f\left[(x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0$

sera l’équation primitive cherchée de la proposée du premier ordre, la fonction marquée par la caractéristique $\varphi$ demeurant arbitraire.

J’ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail nécessaire pour la faire bien entendre, parce qu’elle est nouvelle et qu’elle réduit toute l’analyse inverse des fonctions de deux variables qui ne passent pas le premier ordre à l’analyse des fonctions d’une seule variable.

94. Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul soit assez simple, supposons que l’équation proposée soit de cette forme

$z'=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,z_{_{'}}),$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes, et $f(x,z_{_{'}})$ une fonction quelconque donnée de $x$ et de $z_{_{'}}.$ En rapportant cette équation à la formule générale du numéro précédent, on aura

$\operatorname {F} (x,y,z,z_{_{'}})=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,z_{_{'}})\,;$

donc

$\operatorname {F} (x,y,z,u)=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,u),$