Cette équation, où la caractéristique désigne une fonction arbitraire, satisfera dans toute son étendue à l’équation du premier ordre en dans laquelle est regardée comme fonction de mais a été supposée égale à et doit être, d’après l’équation proposée, une fonction de et donc l’équation
est trop générale, et il faudra encore chercher les limitations qu’on doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quantités et pour que cette équation réponde exactement à l’équation proposée.
Mais, sans entrer dans cette recherche, j’observe que, quelle que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire, on peut la supposer égale à une constante, de sorte que c’est-à-dire une des équations primitives des trois équations ci-dessus, avec une constante arbitraire, donnera une valeur de qui satisfera à l’équation en
Maintenant, en remettant pour dans cette équation, on aura une équation du premier ordre entre et dans laquelle devra être regardée comme fonction de et mais, puisque cette équation ne contient que la fonction prime relative à on pourra regarder comme constante et comme une simple fonction de on trouvera donc son équation primitive par l’analyse des fonctions d’une seule variable, et, puisque est regardée comme constante, la constante arbitraire qui entrera dans cette équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de que nous nommerons
On aura ainsi une valeur de en et avec les deux quantités et qui satisfera à l’équation proposée. La constante demeurera arbitraire mais la fonction devra être déterminée conformément à cette équation. Pour cela, il n’y aura qu’à y substituer l’expression de dont il s’agit ; tous les termes qui renfermeront se détruiront, et il ne restera que des termes qui contiendront et de sorte que l’on aura de nouveau une équation du premier ordre entre les va-
