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Qu’on dénote par $u',u_{_{'}}$ et $\,_{_{'}}\!u$ les fonctions primes de $u$ relativement à $x,y,z,$ il est facile de voir, par les principes établis pour la formation des fonctions primes, que, puisque $z$ est essentiellement une fonction de $x$ et $y$ dont $z'$ et $z,$ sont les fonctions primes relativement à chacune de ces variables isolées, la valeur complète de la fonction prime de $u$ relativement à $x$ sera $u'+\,_{_{'}}\!uz',$ et que la valeur complète de la fonction prime de $u$ relativement à $y$ sera $u_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz_{_{'}}\,;$ ces valeurs sont celles qui, dans l’équation ci-dessus, sont représentées simplement par $u'$ et $u_{_{'}}\,;$ mais on a supposé $z_{_{'}}=u,$ et, par l’équation proposée, on a $z'=\operatorname {F} (x,y,z,u)\,;$ donc les valeurs à substituer à $u'$ et $u_{_{'}}$ seront $u'+\,_{_{'}}\!u\operatorname {F} (x,y,z,u)$ et $u_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uu.$ Faisant donc ces substitutions dans la dernière équation en $u,u',u_{_{'}}$ et ordonnant les termes suivant les quantités $u',u_{_{'}}$ et $\,_{_{'}}\!u,$ on aura

$u'-u_{_{'}}\operatorname {F} '(u)+\,_{_{'}}\!u\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,$

équation qui, étant comparée à la formule générale du n^o 91, donne

$\mathrm {L} =-\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {M} =\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {N} =-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z),$

de sorte que les trois équations par lesquelles il faudra déterminer $y,z,u$ en fonction de $x$ seront

$u'-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,$

$u'\operatorname {F} '(u)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0,$

$u'\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-z'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0.$

Ainsi la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d’où celles-ci peuvent être déduites ; mais il suffira d’en trouver une, et il serait même inutile de trouver les deux autres.

93. En effet, supposons qu’on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires $a,b,c,$ et soient $\mathrm {P,Q,R}$ les valeurs de ces constantes qui en résultent ; on aura

$\mathrm {P=\varphi (Q,R)}$

pour la forme générale de l’équation primitive en $u$ (n^o 91).