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présenté par la série

$f(x)+pi+qi^{2}+\ldots +ui^{\frac {m}{n}}+\ldots ,$

chaque valeur de $f(x)$ se combinerait avec chacune des $n$ valeurs du radical ${\sqrt[{n}]{i^{m}}},$ de sorte que la fonction $f(x+i)$ développée aurait plus de valeurs différentes que la même fonction non développée, ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse tant que $x$ et $i$ demeurent indéterminés ; mais elle cesserait de l’être si l’on donnait à $x$ des valeurs déterminées, car il serait possible que ces valeurs détruisissent quelques radicaux dans $f(x)$ qui pourraient néanmoins subsister dans $f(x+i).$ Nous examinerons plus bas (Chap. V) ces cas particuliers et les conséquences qui en résultent.

Nous venons de voir que le développement de la fonction $f(x+i)$ ne saurait contenir, en général, des puissances fractionnaires de $i\,;$ il est facile de s’assurer aussi qu’il ne pourra contenir non plus des puissances négatives de $i$.

Car, si parmi les termes de ce développement, il y en avait un de la forme ${\frac {r}{i^{m}}},$ $m$ étant un nombre entier positif, en faisant $i=0,$ ce terme deviendrait infini ; donc la fonction $f(x+i)$ devrait devenir infinie lorsque $i=0\,;$ par conséquent, il faudrait que $f(x)$ devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de $x$.

3. Nous étant ainsi assurés de la forme générale du développement de la fonction $f(x+i),$ voyons plus particulièrement en quoi ce développement consiste et ce que signifie chacun de ses termes.

On voit d’abord que, si l’on cherche dans cette fonction ce qui est indépendant de la quantité $i,$ il n’y a qu’à faire $i=0,$ ce qui la réduit à $f(x)$. Ainsi $f(x)$ est la partie de $f(x+i)$ qui reste lorsque la quantité $i$ devient nulle, de sorte que $f(x+i)$ sera égale à $f(x),$ plus à une quantité qui doit disparaître en faisant $i=0$ et qui sera par conséquent ou pourra être censée multipliée par une puissance positive de $i\,;$ et, comme nous venons de démontrer que dans le développement