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puissent se présenter, si elles renferment deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ elles doivent être comprises dans les précédentes, et les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ne pourront qu’être fonctions des constantes $a$ et $b.$ Si donc on tire de ces équations primitives les valeurs des constantes $a$ et $b$ en $x,y,z,$ et que ces valeurs soient $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ en sorte que les équations dont il s’agit soient réduites à la forme $\mathrm {P} =a,$ $\mathrm {Q} =b,$ il s’ensuit que les fonctions $\operatorname {F} (x,y,z)$ et $f(x,y,z)$ ne pourront être aussi que des fonctions de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$

Donc, puisque l’équation primitive d’où l’équation du premier ordre $z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0$ est dérivée, est de la forme

$\operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p)=\varphi \left[f(x,y,z)\right],$

cette équation primitive deviendra

$\operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )=\varphi \left[\operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )\right],$

la fonction marquée par $\varphi$ demeurant arbitraire d’où il résulte que $\mathrm {P}$ sera une fonction quelconque de $\mathrm {Q} ,$ de sorte que l’équation primitive de l’équation du premier ordre

$z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0$

pourra être réduite, en général, à cette forme très-simple,

$\mathrm {P} =\varphi (\mathrm {Q} ),$

la fonction marquée par la caractéristique $\varphi$ étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme l’on voit, la détermination de la fonction de deux variables à celle de deux fonctions d’une seule variable, et elle est surtout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat.

91. La méthode précédente peut s’étendre aussi aux fonctions de plus de deux variables. Ainsi, si $u$ est une fonction de trois variables $x,y,z,$ déterminée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,u)=\varphi (p,q),$

$p$ et $q$ étant des fonctions données de $x,y,z,u,$ et $\varphi (p,q)$ étant une