tités
et
ces quantités deviendront, par la substitution des expressions précédentes de
et de
![{\displaystyle {\frac {f'(y)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(x)\right]-\operatorname {F} '(y)\left[f'(z)z'+f'(x)\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b9c51466f5d8b1de0338a510f93087ae3124eb)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '(x)\left[f'(z)z'+f'(y)y'\right]-f'(x)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(y)y'\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10a1ad39dbd4449bbb97f3f9d5587b83ab8a8d0)
Si l’on ajoute, et qu’on retranche en même temps du numérateur de la première la quantité
et du numérateur de la seconde la quantité
et qu’on fasse attention que
est la fonction prime de
que nous dénoterons simplement par
que de même
est la fonction prime de
que nous dénoterons pareillement par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'+\mathrm {N} =&{\frac {f'(y)\operatorname {F} (x,y,z)'-\operatorname {F} '(y)f(x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}\\\mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f(x,y,z)'-f'(x)\operatorname {F} (x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3c13fa12ee076838050fbddbaa51a157aba510)
Donc, si l’on fait les deux équations
![{\displaystyle z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80af2b56cc1152550ede5e660f13c3789cd352e)
ces équations seront équivalentes à ces deux-ci,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)'=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y,z)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a05c8ee40b4eb2118fb6ea16bd2bb77a841b9c)
dont les équations primitives sont évidemment
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=\mathrm {A} ,\quad f(x,y,z)=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8acd163ff22a5d916ed13aa3f0960144be6af4)
et
étant des constantes arbitraires, de sorte que ces équations primitives seront complètes à cause des deux constantes arbitraires
et ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
Mais il est possible qu’en cherchant les équations primitives des équations
![{\displaystyle z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80af2b56cc1152550ede5e660f13c3789cd352e)
où
et
sont des fonctions données de
on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelque forme qu’elles