substituant les valeurs de 
et de 
données ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \left[u'f^{2}(z)\right]_{_{'}}=u''f^{3}(z)+3u'z'f'(z)f^{2}(z)=\left[u'f^{3}(z)\right]'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a224fcaf1354ca33a97ff402cc03eae910f099)
donc, prenant les fonctions primes relatives à 
on aura
![{\displaystyle \left[u'f^{2}(z)\right]'_{_{'}}=\left[u'f^{3}(z)\right]''=u_{_{'''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8787e199a51f50d9d1591f9b3d27a5361ce7b27)
et ainsi de suite
Donc, puisque 
on aura
par conséquent
![{\displaystyle u_{_{'}}=z'\varphi '(z)f(z),\quad u_{_{''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{2}(z)\right]',\quad u_{_{'''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{3}(z)\right]'',\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b501d32a729b5dbab5211a44df518baaf6973d5e)
étant la fonction prime de 
relativement à 
seul.
Faisons maintenant 
l’équation proposée
donnera 
donc
donc enfin
![{\displaystyle \mathrm {P} =\varphi (x),\ \ \mathrm {Q} =\varphi '(x)f(x),\ \ \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]',\ \ \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]'',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358444da18219029d0af52ce06f4aa8bf2580ace)
comme ci-dessus.
Pour montrer par une application l’usage de cette formule, soit proposée l’équation
et 
étant des quantités données, et qu’on demande la valeur de 
en série suivant les puissances de 
on fera donc
donc aussi
