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87. On pourrait parvenir immédiatement à ce dernier résultat par la formule du n^o 33, car il n’y aurait qu’à regarder $u$ comme une fonction de $y$ et chercher les fonctions primes, secondes, etc. de $u$ relatives à $y,$ c’est-à-dire les valeurs de $u_{_{'}},\ u_{_{''}},\ldots .$ Faisant ensuite $y=0,$ on aurait

$u,\ \ u_{_{'}},\ \ {\frac {1}{2}}u_{_{''}},\ \ {\frac {1}{2.3}}u_{_{'''}},\ \ \ldots$

pour les coefficients $\mathrm {P,Q,R,S} ,\ldots$ de la série.

Tout se réduit donc à trouver ces fonctions dérivées et à les mettre sous une forme simple et régulière. Pour cela, nous reprendrons les deux équations primes trouvées ci-dessus (n^os 85, 86),

$z_{_{'}}-z'f(x)=0,\quad {\frac {u'}{u_{_{'}}}}={\frac {z'}{z_{_{'}}}},$

lesquelles donnent celles-ci

$u_{_{'}}=u'f(x),\quad z_{_{'}}=z'f(x).$

On aura donc. : 1^o

$u_{_{'}}=u'f(z)\,;$

2^o en prenant les fonctions primes selon $y,$

$u_{_{''}}=u'_{_{'}}f(z)+u'z_{_{'}}f'(z)\,;$

$f'(z)$ dénote la fonction prime de $z$ relativement à $z\,;$ or, de la première équation on tire aussi cette équation prime relative à $x,$

$u'_{_{'}}=u''f(z)+u'z'f'(z)\,;$

donc, substituant, on aura

$u_{_{''}}=u''f^{2}(z)+2u'z'f'(z)f(z)=\left[u'f^{2}(z)\right]'\,;$

3^o en prenant encore les fonctions primes relatives à $y,$ on aura

$u_{_{'''}}=\left[u'f^{2}(z)\right]'_{_{'}}\,;$

or

$\left[u'f^{2}(z)\right]_{_{'}}=u'_{_{'}}f^{2}(z)+2u'z_{_{'}}zf(z)\,;$