d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {u'}{u_{_{'}}}}={\frac {z'}{z_{_{'}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4dab008f603b9cc3c99dfd948bf36ba3870abf)
Substituant la valeur de
tirée de l’équation
du numéro précédent, on aura cette équation du premier ordre
![{\displaystyle u'(z-x)-yu_{_{'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793f6a3e5b685025506dda25a0ae22e2978a4a9b)
Supposons ici
![{\displaystyle u=\mathrm {P} +\mathrm {Q} y+\mathrm {R} y^{2}+\mathrm {S} y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16bd09e2a0a27f4cce981f88d5c0dccc629e262)
étant des fonctions de
substituant cette valeur, ainsi que celle de
trouvée ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \left(\mathrm {P} '+\mathrm {Q} 'y+\mathrm {R} 'y^{2}+\mathrm {S} 'y^{3}+\ldots \right)\left\{f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bc307859ad99a7db67fb019991b06eeead7adb)
![{\displaystyle -\mathrm {Q} -2\mathrm {R} y-3\mathrm {S} y^{2}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb3d8952b322e3e87c9bfe610ddd8970c8d1657)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {Q=P'} f(x),\quad 2\mathrm {R=Q'} f(x)+{\frac {\mathrm {P} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fb7de13e29adea2c1d0be025c5dafac2c96a68)
![{\displaystyle 3\mathrm {S=R'} f(x)+{\frac {\mathrm {Q} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {\mathrm {P} '}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08771f2ae328dfba4150934569ca75aaf25248b5)
Or, en substituant successivement les valeurs de
il est aisé de reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent se réduire à cette forme simple
![{\displaystyle \mathrm {Q=P'} f(x),\quad \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {P} 'f^{2}(x)\right]',\quad \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\mathrm {P} 'f^{3}(x)\right]'',\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0d830702be82402129ce11f9bf8b3f5e9ac55e)
La fonction
demeure indéterminée, à cause de l’élimination de la fonction
mais, puisque
il est visible qu’on aura
et par conséquent ![{\displaystyle \mathrm {P} '=\varphi '(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6599cff0367bf489f32b83589c094357ca51b7)
Donc, enfin, on aura
![{\displaystyle \varphi (z)=\varphi (x)+y\varphi '(x)f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23761b261d9e88bf0a862a0bef8843d029acb4fd)
formule très-remarquable et d’un grand usage dans l’Analyse, surtout pour le retour des suites.