d’où l’on tire
![{\displaystyle f'(a)=-\left({\frac {x}{y}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239321841027eee803d49f9a9359068dd3b0e1c6)
ce qui donne
![{\displaystyle a=\varphi \left({\frac {x}{y}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2c59f3811c1e1f272f7a5909c3c7778906c8f6)
désignant la fonction inverse de
Ainsi, la fonction
étant indéterminée, la fonction
le sera aussi ; donc
et
seront deux fonctions indéterminées de
ou plutôt dépendantes d’une même fonction indéterminée de
et
sera, par conséquent, une fonction indéterminée de
Désignant donc cette fonction simplement par
l’équation primitive deviendra
![{\displaystyle z-y\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)-c=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32edada21b1cdf7d7e29d65f6850134e3c436881)
Si l’on prend les deux équations primes de celle-ci, on aura
![{\displaystyle -\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)=0,\quad z_{_{'}}-\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)+\varphi \left({\frac {x}{y}}\right){\frac {x}{y}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2d437c68566cffadbf86570cef88d6e3179f0c)
Éliminant de ces trois équations les deux inconnues
et
on aura, comme plus haut,
![{\displaystyle z-xz'-yz_{_{'}}-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f936aea2e8075980ba3acfb7ac2882a90cf06c)
pour l’équation dérivée du premier ordre, délivrée de la fonction ![{\displaystyle \varphi \left({\frac {x}{y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17326d4cb37135e151a5021b8e73be6bf52a532d)