l’équation proposée pour la détermination de
et qu’on désigne simplement par
les fonctions primes de
prises relativement à
considérées séparément et comme des variables indépendantes, il est aisé de voir, par les principes établis pour les fonctions d’une seule variable, que
sera le terme affecté de
et
le terme affecté de
dans le développement de
après la substitution de
et
pour
et
étant regardé comme fonction de
et
Ainsi,
sera la fonction prime relative à
et
la fonction prime relative à
de
de sorte qu’on aura ces deux équations primes
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad9aee52093b96810f8c43e3f7ff99687fbfa3b)
d’où l’on tire
![{\displaystyle z'={\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad z_{_{'}}=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58be26a284c9797fc0223ce9950b5c1cf46759a)
Ayant ainsi les valeurs de
et
on en déduira celles de
en prenant de nouveau les fonctions primes de celles-ci relatives à
et
et ainsi de suite.
82. On peut aussi rapporter immédiatement cette théorie à celle des fonctions d’une variable en regardant
comme donné en
et
et
comme une fonction indéterminée de
Ainsi, en regardant d’abord
et
comme fonctions de
la fonction prime de
sera
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83706f4d4cc5c2b4dcc13408b7c9d4ff4fd77461)
mais,
étant considéré comme fonction de
et
et
comme fonction de
la fonction prime de
sera représentée par
mettant cette valeur à la place de
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350284d684e0b62c79de7757e3206bae07612ead)
pour la fonction prime de ![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee3c910c928f8544393e737d5b66444813838f6)