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l’équation proposée pour la détermination de $z,$ et qu’on désigne simplement par $\operatorname {F} '(x),\ \operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z)$ prises relativement à $x,y,z,$ considérées séparément et comme des variables indépendantes, il est aisé de voir, par les principes établis pour les fonctions d’une seule variable, que $i\left[\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)\right]$ sera le terme affecté de $i,$ et $o\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]$ le terme affecté de $o$ dans le développement de $\operatorname {F} (x,y,z),$ après la substitution de $x+i$ et $y+o$ pour $x$ et $y,$ $z$ étant regardé comme fonction de $x$ et $y.$

Ainsi, $\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)$ sera la fonction prime relative à $x,$ et $\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)$ la fonction prime relative à $y$ de $\operatorname {F} (x,y,z),$ de sorte qu’on aura ces deux équations primes

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,$

d’où l’on tire

$z'={\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad z_{_{'}}=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}.$

Ayant ainsi les valeurs de $z'$ et $z_{_{'}},$ on en déduira celles de $z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},\ldots$ en prenant de nouveau les fonctions primes de celles-ci relatives à $x$ et $y,$ et ainsi de suite.

82. On peut aussi rapporter immédiatement cette théorie à celle des fonctions d’une variable en regardant $z$ comme donné en $x$ et $y,$ et $y$ comme une fonction indéterminée de $x.$ Ainsi, en regardant d’abord $y$ et $z$ comme fonctions de $x,$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z)$ sera

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)\,;$

mais, $z$ étant considéré comme fonction de $x$ et $y,$ et $y$ comme fonction de $x,$ la fonction prime de $z$ sera représentée par $z'+y'z_{_{'}}\,;$ mettant cette valeur à la place de $z',$ on aura

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]$

pour la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z).$