Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/151

---

CHAPITRE XIV.

Des équations dérivées d’une équation entre trois variables. Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations primitives complètes entre trois variables.

---

81. Lorsqu’une fonction $z$ n’est donnée que par une équation entre $x,y,z,$ on considérera que, comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de $x$ et $y,$ il s’ensuit qu’elle aura lieu aussi en y mettant $x+i$ et $y+o$ à la place de $x$ et $y,$ quelles que soient les quantités $i$ et $o,$ de sorte que, en développant, après cette substitution, l’équation suivant les puissances et les produits de $i$ et $o,$ il faudra que les termes multipliés par une même puissance ou produits de $i$ et $o$ forment des équations séparées. Mais nous venons de voir que, dans le développement d’une fonction de $x$ et $y,$ les termes multipliés par $i$ donnent la fonction prime selon $x,$ ceux multipliés par $o$ donnent la fonction prime selon $y,$ ceux multipliés par ${\frac {i^{2}}{2}}$ donnent la fonction seconde selon $x,$ etc. Donc, ayant une équation quelconque entre $x,y,z,$ et regardant $z$ comme une fonction de $x$ et $y$ donnée par cette équation, on pourra, en prenant les différentes fonctions dérivées de tous ses termes, en déduire autant d’équations dérivées de différents ordres, qu’on appellera de même équations primes, secondes, etc. selon $x$ ou $y,$ équations primo-primes, secundo-primes, etc., et en général, équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. Ces équations serviront à trouver les valeurs de $z',z_{_{'}},z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},\ldots .$

Si donc on représente par

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$