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PREMIÈRE PARTIE.

Exposition de la théorie, avec ses principaux usages dans l’analyse.

CHAPITRE PREMIER.

Développement en série d’une fonction d’une variable lorsqu’on attribue un accroissement à cette variable. Formation successive des termes de la série. Théorème important sur la nature de ces séries.

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1. Nous désignerons en général par la caractéristique $f$ ou $\operatorname {F} ,$ placée devant une variable, toute fonction de cette variable, c’est-à-dire toute quantité dépendante de cette variable et qui varie avec elle suivant une loi donnée. Ainsi $f(x)$ ou $\operatorname {F} (x)$ désignera une fonction de la variable $x\,;$ $f(x^{2}),f(a+bx),\ldots$ désigneront des fonctions de $x^{2},$ de $a+bx.$

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes, comme de $x,y,$ nous écrirons $f(x,y),$ et ainsi des autres.

Lorsque nous voudrons employer d’autres caractéristiques pour marquer les fonctions, nous aurons soin d’en avertir.

Considérons donc une fonction $f(x)$ d’une variable quelconque $x$. Si à la place de $x$ on y met $x+i,$ $i$ étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra $f(x+i),$ et, par la théorie des séries, on pourra la développer en une série de cette forme

$f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+\ldots ,$

dans laquelle les quantités $p,q,r,\ldots ,$ coefficients des puissances de $i,$