suffit d’avoir des limites de ces valeurs, on pourra faire usage de la méthode employée dans le Chapitre cité pour parvenir à des conclusions semblables à celles du no 39.
Ainsi, en désignant par
un nombre indéterminé, ou plutôt inconnu, toujours compris entre
et
et qui devra être partout le même dans la même fonction, mais qui pourra être différent dans les différentes fonctions, on trouvera les expressions suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y),\\\mathrm {Q} =&{\frac {1}{2}}\left[x^{2}f''(\lambda x,\lambda y)+2xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+y^{2}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2a0833a064b1520989f45b0d4146c9c48859ef)
et ainsi des autres.
Donc enfin, substituant ces valeurs de
dans les développements de
et faisant
on aura ces formules générales, qui renferment une extension du théorème du no 40
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)=f+&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''(\lambda x,\lambda y)\\&+xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\\\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}\\+&{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(\lambda x,\lambda y)+{\frac {x^{2}y}{2.3}}f''_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\+&{\frac {xy^{2}}{2}}f'_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(\lambda x,\lambda y)\\=\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb57c64def499d3878297c5598031ced9b664d85)
Donc, si l’on a la fonction
à développer suivant les puissances de
et de
il n’y aura qu’à mettre
et
à la place de
et
dans les formules précédentes, et les quantités
deviendront
où les fonctions dérivées peuvent être prises relativement à
et
puisque la fonction
est telle, que ses dérivées relativement à
et
sont les mêmes que les