par parties, et arrêtons-nous d’abord au premier terme ; nous ferons
![{\displaystyle f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe99dc8280dff14f323617261af32c9f3e7d4ca0)
étant une fonction de
qui devra être évidemment nulle lorsque
Puisque la quantité
peut être quelconque, nous pouvons prendre l’équation prime relativement à
et, par les principes et la notation établis, il est facile de voir que la fonction prime de
prise relativement à
sera
![{\displaystyle -xf'(x-xz,y-yz)-yf_{_{'}}\left(x-xz,y-yz\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f8a28d32e2055ab8cc9788e3d0a944aa770520)
donc, désignant par
la fonction prime de
prise aussi relativement à
on aura, pour la détermination de
l’équation du premier ordre
![{\displaystyle \mathrm {P} '=xf'(x-xz,y-yz)+yf_{_{'}}(x-xz,y-yz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1c681fdd71d4af8ea08a81f6f7ffce7055130b)
Considérons, en second lieu, les trois premiers termes du développement de
et faisons
![{\displaystyle f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+xzf'(x-xz,y-yz)+yzf_{_{'}}(x-xz,y-yz)+\mathrm {Q} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549c946da05f4597f609313a6f996efad0c6c250)
sera une fonction de
qui devra, par la nature même de cette équation, devenir nulle lorsque
À cause de l’indétermination de
on pourra prendre l’équation prime relativement à
et, désignant par
la fonction prime de
on trouvera, après avoir effacé les termes qui se détruisent dans l’équation prime, cette équation du premier ordre pour la détermination de ![{\displaystyle \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e83ec0e972d08bb4fe22f6d4dd8b65297a6492)
![{\displaystyle \mathrm {Q} '=x^{2}zf''(x-xz,y-yz)+2xyzf'_{_{'}}(x-xz,y-yz)+y^{2}zf_{_{''}}(x-xz,y-yz),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60da14c64c1db4ced5d7f64e2b3c68fddb13121f)
et ainsi de suite.
Pour déduire de ces équations les valeurs de
il faudrait chercher les fonctions primitives des quantités
relativement à
et les prendre telles qu’elles soient nulles lorsque
Mais, comme nous n’avons pas besoin des expressions générales de ces quantités, mais seulement de leurs valeurs relatives à
que même il