CHAPITRE XIII.
Où l’on donne la manière de développer les fonctions d’un nombre quelconque de variables en séries terminées, composées d’autant de termes qu’on voudra, et d’avoir la valeur des restes.
78. Par une méthode analogue à celle du Chapitre VI, on peut aussi avoir le développement d’une fonction quelconque de
et
suivant les puissances de
et
et déterminer les restes de la série lorsqu’on veut l’arrêter à des termes quelconques. En changeant, dans la formule du nso 73,
et
en
ensuite
et
en
on aura
![{\displaystyle f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+xzf'(x-xz,y-yz)+yzf_{_{'}}(x-xz,y-yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73a1f5c5b5fc99f0a669225f8f8a203465ebd4a)
![{\displaystyle +{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz,y-yz)+xyz^{2}f'_{_{'}}(x-xz,y-yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e03845c454016dc3c350c0046f95601d1f9c54)
![{\displaystyle +{\frac {y^{2}z^{2}}{2}}f_{_{''}}(x-xz,y-yz)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff47d5682b59ffdc727621ca21202b1c4157aae2)
où
sera une quantité quelconque indéterminée qui, étant supposée égale à zéro, rendra l’équation identique, et qui, étant faite égale à
donnera
![{\displaystyle f(x,y)=f+xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d763d2cda79bb3f5b17abf84b1a6b3d19e3daf7)
formule générale du développement de la fonction
suivant les puissances de
et
dans laquelle les quantités désignées par
dénotent les valeurs des fonctions dérivées suivant
et
en faisant
et ![{\displaystyle y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bd6ae8686fc84f378d56cc491c7113fb947cd5)
Supposons maintenant qu’on ne veuille faire ce développementque