quantité
On aura donc les comparaisons suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(1)+m\ \ f(1)=(1+m)f(1),\\&f(2)+m^{2}f(2)+m\ \ f(1,1)=(1+m)^{2}f(2),\\&f(3)+m^{3}f(3)+m^{2}f(1,2)+m\ \ f(2,1)=(1+m)^{3}f(3),\\&f(4)+m^{4}f(4)+m^{3}f(1,3)+m^{2}f(2,2)+mf(3,1)=(1+m)^{4}f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35587e843e881ed1d4cc48a8b5703fb9838732a0)
Et, comparant encore les termes affectés des mêmes puissances de
on tirera ces valeurs :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(1,1)=2f(2),\\&f(1,2)=3f(3),\quad f(2,1)=3f(3),\\&f(1,3)=4f(4),\quad f(2,2)=6f(4),\quad f(3,1)=4f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5778850e1589e5b53926007f5d9895cd5efd3e)
Donc, par les termes du premier développement général, on pourra avoir immédiatement ceux de tous les développements partiels suivants.
77. À l’imitation de ce que nous avons pratiqué pour les fonctions d’une seule variable, si l’on regarde
comme une fonction de
et
on pourra dénoter par
ces différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre
les mêmes traits qu’on appliquerait à la caractéristique
de la fonction
qu’on suppose représenter la valeur de
et l’on nommera ces fonctions de la même manière.
Ainsi,
devenant
et
devenant
la quantité
fonction de
deviendra (no 73)
![{\displaystyle z+iz'+oz_{_{'}}+{\frac {i^{2}}{2}}z''+ioz'_{_{'}}+{\frac {o^{2}}{2}}z_{_{''}}+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+{\frac {i^{2}o}{2}}z''_{_{'}}+{\frac {io^{2}}{2}}z'_{_{''}}+{\frac {o^{3}}{2.3}}z_{_{'''}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c501ec62c349b819ee95d7af0250f0f887b8b20b)
le terme général, de cette série étant, comme dans l’endroit cité,
![{\displaystyle {\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}z_{n}^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fdeacba6e3c075b2f92ddd0cd6105c7db47484)