Il est évident que cette conclusion a lieu en général quelles que soient les variables
indépendantes ou non.
75. Soit, par exemple,
![{\displaystyle f(x,y)=x{\sqrt {2xy+y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1673eac0aea260cf3c6027bcca0f679322d58177)
on aura la fonction prime relativement à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle f'(x,y)={\sqrt {2xy+y^{2}}}+{\frac {xy}{\sqrt {2xy+y^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c56e5aa54d2c067c6f2ea0d22b9f7faa8bacbb6)
et sa fonction prime relativement à
sera
![{\displaystyle f_{_{'}}(x,y)={\frac {x^{2}+xy}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34136383e2fc0e6622b6d063970db18705d284b8)
ensuite, la fonction prime de
relativement à
sera
![{\displaystyle f'_{_{'}}(x,y)={\frac {x+y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}+{\frac {x^{2}y}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1153aa30deda8b9f7c961c336064b29911320a)
et la fonction prime de
relativement à
sera
![{\displaystyle f'_{_{'}}(x,y)={\frac {2x+y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}-{\frac {\left(x^{2}+xy\right)y}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf176b0c24a2704976deee04016ed266ebf6cbd)
Quoique ces deux expressions de
paraissent différentes, elles sont cependant identiques, car elles se réduisent l’une et l’autre à
![{\displaystyle {\frac {3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a76861fa48c0fc087d4e433247a6e4b816040e)
Ensuite, en prenant la fonction prime de
relativement à
c’est-à-dire la fonction seconde de
relativement à
on aura
![{\displaystyle f''(x,y)={\frac {2y}{\sqrt {2xy+y^{2}}}}-{\frac {xy^{2}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {3xy^{2}+2y^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207625163ec2266cda567189ed8c0753bb4c52ec)