facilement comment l’équation entre ses trois côtés satisfait à l’équation précédente du premier ordre. Cette équation étant
![{\displaystyle \cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}+\cos \mathrm {M} \sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}=\cos {\frac {m}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4530c73db3eca7c739f757d4d8453bc33982878)
si l’on prend les fonctions primes, en regardant
cômme fonction de
et
comme constantes, on aura
![{\displaystyle \left(\cos \mathrm {M} \cos {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}-\sin {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)z'+\cos \mathrm {M} \sin {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}-\cos {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05c36d325d70bb6f1ed067676407907deae81c7)
Substituons à la place de
sa valeur tirée de la même équation ; il viendra celle-ci :
![{\displaystyle {\cfrac {\cos {\cfrac {z}{2}}\cos {\cfrac {m}{2}}-\cos {\cfrac {u}{2}}}{\sin {\cfrac {z}{2}}}}z'+{\cfrac {\cos {\cfrac {u}{2}}\cos {\cfrac {m}{2}}-\cos {\cfrac {z}{2}}}{\sin {\cfrac {u}{2}}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58307021f549dee2343897f93678b3bc6bd5c2a)
Maintenant, si dans le même triangle sphérique, dont
sont les trois côtés et
l’angle opposé au côté
on désigne par
et
les angles opposés aux côtés
et
on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {u}{2}}=&\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {m}{2}}+\cos \mathrm {U} \sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {m}{2}},\\\cos {\frac {z}{2}}=&\cos {\frac {u}{2}}\cos {\frac {m}{2}}-\cos \mathrm {Z} \sin {\frac {u}{2}}\sin {\frac {m}{2}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b69d8a28cb814e165d656c4b74a4cad9c508ac)
je donne à
le signe
parce que je suppose l’angle
obtus. Donc, faisant ces substitutions et divisant toute l’équation par
elle deviendra
![{\displaystyle z'\cos \mathrm {U-\cos Z} =0,\quad {\text{d’où}}\quad z'=\mathrm {\frac {\cos Z}{\cos U}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3852e0d10d6ffab167cc1a8a2ab405c3a5c0ad83)
Mais, par la propriété générale des triangles sphériques, on a
![{\displaystyle {\cfrac {\sin \mathrm {U} }{\sin {\cfrac {u}{2}}}}={\cfrac {\sin \mathrm {Z} }{\sin {\cfrac {z}{2}}}}={\cfrac {\sin \mathrm {M} }{\sin {\cfrac {m}{2}}}}=\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b430249fe99e755c2bf9daee1ba7292500201762)