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Divisons maintenant par cette équation du premier ordre les deux équations ci-dessus du second en $p$ et $q\,;$ on aura ces deux-ci,

${\frac {p''}{p'q'}}={\frac {\cos q}{\sin q}},\quad {\frac {q''}{p'q'}}={\frac {\cos p}{\sin p}},$

dont la première étant multipliée par $q'$ et la seconde par $p'$ donneront ces équations primitives

$\operatorname {l} p'=\operatorname {l} \sin q+\operatorname {l} a,\quad \operatorname {l} q'=\operatorname {l} \sin p+\operatorname {l} b,$

ou bien, en passant des logarithmes aux nombres,

$p'=a\sin q,\quad q'=b\sin p,$

$a$ et $b$ étant des constantes arbitraires qu’on déterminera par les mêmes suppositions que ci-dessus, d’où l’on aura

${\begin{aligned}a=&{\cfrac {{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}+{\sqrt {\mathrm {A+B} }}}{2\sin {\cfrac {m}{2}}}},\\b=&{\cfrac {{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}-{\sqrt {\mathrm {A+B} }}}{2\sin {\cfrac {m}{2}}}},\end{aligned}}$

Les deux équations qu’on vient de trouver pourraient donner chacune une équation primitive en $u$ et $z$ par la substitution des valeurs de $p,q,p',q'\,;$ on aurait ainsi

${\begin{aligned}&{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}+{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}=2a\sin {\frac {z-u}{2}},\\&{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}-{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}=2b\sin {\frac {z+u}{2}}.\end{aligned}}$

Comme les valeùrs de $a$ et $b$ renferment l’indéterminée $m,$ chacune de ces valeurs pourra être regardée aussi comme indéterminée en particulier ainsi, dans chacune de ces équations à part, on pourra regarder $a$ ou $b$ comme constante arbitraire ; mais, si l’on voulait faire une combinaison quelconque de ces équations, il faudrait employer les valeurs