cédentes, ajoutées et retranchées, deviendront par les théorèmes connus,
![{\displaystyle 2p''=-\mathrm {B} \sin p\cos q,\quad 2q''=-\mathrm {B} \cos p\sin q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb147b4742b62aed572b665597c01e772483a13)
Il est d’abord visible que, si l’on ajoute ces deux équations après avoir multiplié la première par
et la seconde par
le premier membre deviendra la fonction prime de
et le second la fonction prime de
de sorte qu’on aura d’abord cette équation primitive du premier ordre,
![{\displaystyle 2p'q'=-\mathrm {B} \sin p\sin q+a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec683165acffbfc1f2c2d3ce12e04a4ad1415f2)
étant la constante arbitraire.
Pour la déterminer, supposons que
donne
on aura donc dans ce cas
![{\displaystyle u'=\mathrm {\sqrt {A+B}} ,\quad z'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}},\quad p=q={\frac {m}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ae3c59917c2a6bd2e0468bc4a0cb4dc55207a5)
![{\displaystyle p'={\frac {z'+u'}{2}},\quad q'={\frac {z'-u'}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53de906d7f141a18c2551b5f9017e614cbfc9e68)
donc
![{\displaystyle 2p'q'={\frac {z'^{2}-u'^{2}}{2}}={\frac {\mathrm {B} (\cos m-1)}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0ad452c663ba4679cb7e408d4d0dd7c6980bd8)
![{\displaystyle \sin p\sin q=\sin ^{2}{\frac {m}{2}}={\frac {1-\cos m}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbc99afca17c7646bcebf80f98a7b3eb70bda23)
de sorte que l’on aura
![{\displaystyle a=2p'q'+\mathrm {B} \sin p\sin q=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b954c7610bb288ab62587112fed7532895e5521)
On aura donc simplement l’équation
![{\displaystyle 2p'q'=-\mathrm {B} \sin p\sin q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e320f82848fb58be25d3bba901bf9dcf980f0c77)
d’où l’on peut conclure que cette équation primitive, ne renfermant point de constante arbitraire, doit être comprise dans les équations du premier ordre en
et
d’oà nous sommes partis. En effet, ces équations donnent, en substituant les valeurs de
et ![{\displaystyle q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a)
![{\displaystyle 2p'q'={\frac {z'^{2}-u'^{2}}{2}}={\frac {\mathrm {B} }{2}}(\cos z-\cos u)=-\mathrm {B} \sin p\sin q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeedd96c15757987f54389aab72df33849d1961)