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En effet, si l’on substitue la valeur précédente de $p'$ dans l’équation trouvée plus haut, qui donne la valeur de $p'q',$ on en tirera

$q'={\frac {\mathrm {B+C} p+{\frac {1}{4}}\mathrm {D} \left(3p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {E} \left(p^{3}+pq^{2}\right)}{\sqrt {a+\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2}}}}.$

Ici, remettant pour $p$ et $q$ leurs valeurs $x+y$ et $x-y,$ et pour $q'$ sa valeur

$x'-y'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}-{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}-\mathrm {E} y^{2}}},$

on aura une nouvelle équation en $x$ et $y$ avec la constante arbitraire a, qui sera également l’équation primitive de la proposée, mais qui ne sera qu’une transformée de l’équation précédente.

68. L’équation du premier ordre dont nous venons de trouver l’équation primitive peut toujours, par des transformations convenables, se réduire à la forme

$z'={\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}},$

$z$ étant ici une fonction de $u.$ Comme cette équation, traitée directement de la même manière, est susceptible d’une analyse beaucoup plus simple et plus élégante, j’ai cru qu’on ne serait pas fâché de la trouver ici.

On regardera $u$ et $z$ comme fonctions d’une autre variable $t,$ et, après avoir substitué, en conséquence, ${\frac {z'}{u'}}$ à la place de $z'$ (n^o 50), on fera ces deux équations séparées

$u'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}},\quad z'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}\,;$

après les avoir carrées, on en prendra les fonctions primes ; on aura, en divisant l’une par $u'$ et l’autre par $z',$ ces deux-ci du second ordre :

$2u''=-\mathrm {B} \sin u,\quad 2z''=-\mathrm {B} \sin z.$

Soient maintenant $z+u=2p,$ $z-u=2q\,;$ les deux équations pré-