dont l’équation primitive peut être mise sous la forme
![{\displaystyle x+{\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9ad033d4fb3d102d6726ef43578877ad7e95ff)
étant une constante arbitraire qu’il faudra déterminer en sorte que
donne
conformément à la proposée. Soit
la valeur de
lorsque
on aura donc les deux équations
![{\displaystyle -\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423ac1e8f0f9eeddb81aef28e631aba5606422c3)
et
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {a}{3}}+\alpha \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d5af87bdc307e8ebfdc2992b1956c9259736fd)
par lesquelles on déterminera d’abord
ensuite
Après quoi on déterminera
par l’équation
![{\displaystyle \sin z={\frac {y-\mathrm {C} }{\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631abe9d73418400bba14439e5aa592a34af5980)
et l’on aura
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {B} }{3}}+{\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ea109c881828c184c255ccdcaf68834b86a536)
et, comme au même sinus de
répond aussi l’angle
augmenté d’une ou de deux circonférences, on aura les trois valeurs de
en prenant pour
ces trois valeurs
dénotant la circonférence du cercle.
C’est le cas qu’on appelle irréductible et où les trois racines sont réelles.
Supposons, en second lieu, que le radical
soit imaginaire ; il n’y aura qu’à multiplier le numérateur et le dénominateur de l’expression de
par
et l’on aura
![{\displaystyle y'={\cfrac {3{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}}}}{\sqrt {-9p+{\cfrac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e804cb1aa5b08d5e2a3ee497a09003f44374fb)
quantité toute réelle.