lant à
le terme sans
et les autres à zéro, on aura
![{\displaystyle m\mathrm {A} +2p\mathrm {B} =\mathrm {C} ,\quad (1+n)\mathrm {A} +6m\mathrm {B} +6p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfef83c2d8f23245c320bd935c0482c772d6d05)
![{\displaystyle (1+4n)B+15m=0,\quad 1+9n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76addd171a4db41eab3ba0a7421f4a5c6cc8b564)
d’où l’on tire
![{\displaystyle n=-{\frac {1}{9}},\quad m=-{\frac {\mathrm {B} }{27}},\quad p=\mathrm {{\frac {B^{2}-4A}{27}}\quad {\text{et}}\quad C={\frac {3B^{3}-9AB}{27}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bfa9b25d608603a8a83229134dc69f864789e5)
Retenons, pour plus de simplicité, les quantités
et
et substituons celles de
et
dans l’équation ci-dessus ; elle deviendra, en tirant la valeur de
![{\displaystyle y'={\frac {3{\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}}{\sqrt {9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca556aa9979baaedb71bd8578440edc644da3851)
Il faut maintenant en déduire l’équation primitive en
et
mais, pour éviter les imaginaires, on doit distinguer deux cas, l’un où les radicaux sont réels, l’autre où ils sont imaginaires ; car, puisque toute valeur réelle de
donne pour
et
des valeurs réelles, il est visible que les deux radicaux de l’équation précédente seront réels ou imaginaires ensemble.
Supposons donc, en premier lieu, que
soit une quantité réelle ; il faudra donc que
par conséquent, on pourra supposer
![{\displaystyle y-\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df710507d5cf8daafa23a259474d1c7ec141fd79)
ce qui donnera
![{\displaystyle {\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C} y-y^{2}}}={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\cos z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87dfdda1a799caecaafb4a4b3e4df5a322dd735)
et, prenant les fonctions primes,
![{\displaystyle y'={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}z'\cos z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7d809082a5892f7495bdfb4cdd2c3a3a64665e)
substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra, en divisant par ![{\displaystyle 3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e86384bc2ac4ac6c2a68904ba067110f0876bd)
![{\displaystyle \left(9p-{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {z'}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d112b8600f3391e17ca09bbe6f3831179ba2e22)