qui contiendra les puissances
et
et je pourrai faire évanouir les termes multipliés par chacune de ces puissances ; j’aurai ainsi une équation du second ordre de la forme
![{\displaystyle y+(m+nx)y'+\left(p+qx+rx^{2}\right)y''=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7300b6a026fd6990d5e5b0b0fc42bf0c460467)
où
sera une quantité constante ; et cette équation renfermera encore deux coefficients indéterminés.
Je pourrai donc encore faire en sorte qu’étant multipliée par
elle ait une équation primitive ; car, pour cela, il suffira de faire
et l’équation primitive sera
![{\displaystyle y^{2}+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'^{2}=2\mathrm {C} y+a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7b17b650b61e9d0fe7ef2907e421cd015b8059)
étant une constante arbitraire qu’on déterminera, comme nous l’avons dit, en supposant
et mettant pour
et
leurs valeurs tirées de l’équation proposée. Or elle donne, dans ce cas,
donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, elle donnera ![{\displaystyle p\mathrm {A} ^{2}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eb2edab9867bbf4bf13588d9d4146dbf69c11f)
Ainsi l’on aura cette équation en
du premier ordre
![{\displaystyle y^{2}+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'^{2}=2\mathrm {C} y+p\mathrm {A} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460bc752a8d1661a02060478340875b2e5630a31)
où
ne monte qu’au second degré, circonstance sans laquelle on n’aurait rien gagné pour la détermination de
en ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Mais, avant d’aller plus loin, il faut satisfaire aux conditions, nécessaires pour que la quantité
![{\displaystyle y+(m+nx)y'+\left(p+2mx+nx^{2}\right)y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2814e5b7ab2211b11968c27593d19057e660395c)
après la substitution des valeurs de
devienne égale à une constante
Cette substitution donne la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+x^{3}+(m+nx)\left(\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3x^{2}\right)+\left(p+2mx+nx^{2}\right)(2\mathrm {B} +6x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee4e50b4f20a83e73e663547eb9b7b5780b5c0d)
développant, ordonnant les termes suivant les puissances de
et éga-