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dont l’équation primitive est

$\operatorname {l} (y-b)-\mathrm {K} x=\operatorname {l} a,$

d’où l’on tire

$y=b+ae^{\mathrm {K} x},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité et $a$ la constante arbitraire. Ici il est évident qu’en faisant $a$ égal à zéro on aura $y=b.$

Supposons encore

$\operatorname {F} (y)={\sqrt {\mathrm {Y} }},$

$\mathrm {Y}$ étant une fonction de $y$ qui devienne nulle lorsque $y=b,;$ on aura

$\operatorname {F} '(y)=\mathrm {\frac {Y'}{2{\sqrt {Y}}}} \,;$

donc, puisque $\mathrm {Y}$ devient nul lorsque $y=b,$ si $\mathrm {Y} '$ ne devient pas nul en même temps, $\operatorname {F} '(y)$ deviendra alors infini et la valeur $y=b$ ne sera qu’une valeur singulière. Donc, pour que cette valeur soit une simple valeur particulière, il faudra que $\mathrm {Y} '$ devienne nul en même temps que $\mathrm {Y} ,$ en faisant $y=b.$

Cette théorie des équations primitives singulières est présentée d’une manière plus générale et avec de nouveaux détails dans les Leçons XIV, XV, XVI et XVII sur le Calcul des fonctions^[1], auxquelles nous renvoyons les lecteurs qui désireraient approfondir davantage ce point d’Analyse.

1. Œuvres de Lagrange, t. X.