quantité qui devient infinie lorsque
donc la valeur
sera une valeur singulière si
et
et une simple valeur particulière si
ou
En effet, l’équation
![{\displaystyle y'=\mathrm {K} (y-b)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0f717e8861e6fe6797d702e1783c0ef441fb12)
étant divisée par
et mise sous la forme
![{\displaystyle (y-b)^{-m}y'-\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5d26ea18e9d4ebdf4d231f5354332feebdf6a7)
a pour équation primitive
![{\displaystyle {\frac {(y-b)^{1-m}}{1-m}}-\mathrm {K} x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5bd0335cc9c16356a0e4bdd74d715383d38d2c)
étant la constante arbitraire, d’où l’on tire
![{\displaystyle y=b+\left[(m-1)(a+\mathrm {K} x)\right]^{\frac {1}{1-m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d555b55cfaade8808dc5604ed05b31452a258d5)
Donc, pour que l’on ait
il faudra que la quantité
devienne nulle. Or, si
et
l’exposant
sera positif ; par conséquent, il sera impossible de donner à
une valeur qui fasse évanouir la quantité dont il s’agit. Mais si
alors, l’exposant
devenant négatif, la quantité
deviendra nulle lorsque
sera infini ; car, faisant
cette quantité deviendra
![{\displaystyle {\frac {c^{\frac {1}{m-1}}}{(1+\mathrm {K} cx)^{\frac {1}{m-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118f9ef7b8bfc7e413c42fc3471d53fbb3cc1703)
laquelle devient zéro lorsque ![{\displaystyle c=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4905a9dd91c5a2847b64b0dddc0fd27b345bfc5)
La même chose a lieu lorsque
alors l’équation primitive contient des logarithmes ou des exponentielles, car on a
![{\displaystyle y'=\mathrm {K} (y-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579c8505e25540e089d8a07ef05a1e07bafeff3a)
et, divisant par ![{\displaystyle y-b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7e199d9ad0d0a726ba4999c85b41e08e3eda29)
![{\displaystyle {\frac {y'}{y-b}}-\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300a6fd833f2c786e0779764f48a7a988bf9484e)