premier ordre, ce qui est aisé à vérifier, car elle donne
![{\displaystyle y^{2}=b^{2}-x^{2}\quad {\text{et}}\quad yy'=-x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955b079dd2b22c281cbbd8212f7b2e8ec9662233)
valeurs qui, étant substituées dans la quantité
![{\displaystyle x+yy'-y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82804f617f828b9942a883f9e0e4a553a7217b66)
la rendent identiquement nulle. Ce sera donc l’équation primitive singulière.
En effet, suivant la théorie du no 61, on aura, dans le cas présent,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)={\frac {x}{-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\quad {\text{et}}\quad p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624c4cc07eba4f35dac6af44f32282f5b1dbe928)
donc, en prenant les fonctions primes relativement à
seul, on trouvera
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)={\frac {x}{\left(-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff531768986504def60e86b3982e94220838c4c8)
quantité qui devient infinie, comme l’on voit, par la supposition de ![{\displaystyle y=p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6daa0a356fc3b694299e5b735a95991d964e56ca)
63. Supposons maintenant que l’on ait l’équation du premier ordre
et que la fonction
de
soit telle qu’elle devienne nulle lorsque
est égal à une constante donnée
il est visible que cette valeur de
satisfera à l’équation, car
donne aussi
On demande si cette valeur de
est une valeur particulière comprise dans la valeur complète ou bien si ce n’est qu’une valeur singulière. On prendra la fonction prime de
et, si
devient infini lorsque
la valeur
ne sera qu’une valeur singulière ; sinon, elle sera une valeur particulière.
Soit
![{\displaystyle \operatorname {F} (y)=\mathrm {K} (y-b)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b70878d14eb732c87704dc527e2f2bd22c3f9b)
étant
et
une constante ; on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)=m\mathrm {K} (y-b)^{m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8439be380f68d4dc3f4fea905633149d3309fd)