Puisque
est la fonction prime de
prise relativement à
la fonction prime de celle-ci prise relativement à
sera donc la fonction seconde de
prise d’abord relativement à
et ensuite relativement à
laquelle est la même chose, comme nous le démontrerons plus bas, que la fonction seconde de
prise d’abord relativement à
et ensuite relativement à
Ainsi, ayant désigné par
la fonction prime de
par rapport à
on aura
pour la fonction prime de
prise également par rapport à
les traits appliqués aux caractéristiques
et
ne se rapportant qu’à la variable
À l’égard de la fonction
comme elle résulte de la substitution de
à la place de
dans
sa fonction prime relativement à
sera exprimée par
(no 16), puisque nous avons désigné par
la fonction prime de
relativement à
et par
la fonction prime de
ou
relativement à
Donc l’équation prime de l’équation
![{\displaystyle f'(x,a)=\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73042c18e66620b9f50962ce8b45e7a3665b1d2b)
prise relativement à
sera
![{\displaystyle \varphi '(x,a)=\operatorname {F} '(y).\varphi (x,a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fc1ad867425b0ddad9ac8e51be032953e18dd7)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)={\frac {\varphi '(x,a)}{\varphi (x,a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbe6650cc20de669e5d1f72cde893faea14e85d)
Or nous venons de trouver que, pour avoir la valeur particulière
il faut substituer dans
la valeur de
tirée de l’équation
Dénotons par
cette valeur de
qui sera une fonction de
la fonction
aura cette forme
![{\displaystyle \varphi (x,a)=\mathrm {V} (\mathrm {X} -a)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43530c44bb16681001f92763e9b83248731d9a0c)
étant
et
étant une fonction de
qui ne deviendra ni nulle ni infinie lorsque
on tirera de là
![{\displaystyle \varphi '(x,a)=\mathrm {V} '(\mathrm {X} -a)^{m}+m\mathrm {V} \mathrm {X} '(\mathrm {X} -a)^{m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a5eef3b4e47965e30ae71cf07c400f43b2025a)