Supposons, en effet, que, pour une équation du premier ordre en
et
la valeur complète de
soit
étant la constante arbitraire. En donnant à
une valeur particulière
la quantité
deviendra une valeur particulière de
que nous nommerons
et que nous supposerons connue d’une manière quelconque. Faisons maintenant
et développons la fonction
en série ascendante suivant les puissances de
le premier terme sera
et les autres termes seront de la forme
étant des fonctions de
Si l’on substitue cette expression de
dans l’équation donnée du premier ordre, il faudra qu’elle se vérifie indépendamment de la constante
qui doit demeurer arbitraire.
Soit donc
![{\displaystyle y'=\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e489f3c1ee4333c095d61940ed62e8f98f78d62)
l’équation du premier ordre à laquelle satisfait la valeur particulière
on aura, d’après cette condition,
![{\displaystyle p'=\operatorname {F} (x,p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4260b61861f761dc056d2f4b8e15924ad1344519)
Substituons pour
la série
et développons aussi la fonction
en série suivant les puissances de
si l’on dénote simplement par
les fonctions primes, secondes, etc. de
prises relativement à
seul, et qu’on fasse, pour abréger,
on aura, par la théorie exposée plus haut sur le développement des fonctions,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=\operatorname {F} (x,p)+o\operatorname {F} '(p)+{\frac {o^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7589898fba3a55e73a7d3149739b901f9f52f55)
D’un autre côté, on aura, en prenant les fonctions primes,
![{\displaystyle y'=p'+q'i+r'i^{2}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5132b42970feb34ec603fca91a13eceb9b89711)
donc, substituant ces valeurs dans l’équation
et ordonnant les termes suivant les puissances de
on aura, à cause de ![{\displaystyle p'=\operatorname {F} (x,p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a778763ea2eb808e94c78f0deeb48f53055a41)
![{\displaystyle iq'+i^{2}r'+\ldots =iq\operatorname {F} '(p)+i^{2}\left[r\operatorname {F} '(p)+{\frac {q^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(p)\right]+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59292747ec4dc2d60685cb774adca2748ac7a68)