et
étant deux constantes arbitraires ; donc, puisque
et que
on aura cette valeur complète de
![{\displaystyle y={\frac {ape^{\mathrm {P} }+bqe^{\mathrm {Q} }}{ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6718f5b6d520cb49008a9de03d8e98e08178052e)
c’est-à-dire, en faisant ![{\displaystyle {\frac {b}{a}}=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2df4ba097ff41fba1977c3e039b7a5383938cfe)
![{\displaystyle y={\frac {p+cqe^{\mathrm {Q-P} }}{1+ce^{\mathrm {Q-P} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fffafa20acc148233b539cf4cecefad24700d9)
où
est la constante arbitraire.
Par exemple, si
étant une constante, il est aisé de voir que l’on satisfera à la proposée en
en faisant
et, à cause de l’ambiguïté du radical, on aura
![{\displaystyle p={\sqrt {m}},\quad q=-{\sqrt {m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e645ca455847e7c79134b4ae8c8b2950e72f9c12)
donc, nommant
la fonction primitive de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P=L} {\sqrt {m}},\quad \mathrm {Q=-L} {\sqrt {m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0236cf70033953f7d4b13bf553cc47b70d67d7f)
et la valeur complète de
sera
![{\displaystyle {\frac {\left(1-ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}\right){\sqrt {m}}}{1+ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df4e952784c2ad1b5e11ec0f34098197ea7d18)
Au reste, dans ce cas, l’équation proposée peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {y'}{y^{2}-m}}+\mathrm {M} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf08f00908217e224b9a4f7f2e181f7bae1cc64)
où les variables
et
sont séparées, et dont on peut trouver l’équation primitive, comme nous l’avons montré plus haut.
57. Lorsque l’équation proposée n’est pas linéaire en
ou qu’elle n’est pas comprise sous la forme précédente, je ne connais aucune méthode générale pour compléter les valeurs particulières de
qu’on aurait trouvées ; mais on y peut toujours parvenir par le moyen des séries.