au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune des fractions
convergentes vers la racine de
Ainsi, faisant d’abord
on aura les quatre premières fractions ; faisant ensuite
on aura les quatre suivantes, et ainsi de suite : et ces fractions seront
![{\displaystyle {\frac {1}{1}},\ \ {\frac {2}{1}},\ \ {\frac {21}{11}},\ \ {\frac {23}{12}},\ \ {\frac {67}{35}},\ \ {\frac {90}{47}},\ \ {\frac {967}{505}},\ \ {\frac {1057}{552}},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9efc7dca41807c2a3869059a3cee39cea341f59)
Si l’on voulait avoir, par exemple, le cinquantième terme de cette série, c’est-à-dire la fraction
il n’y aurait qu’à diviser
par
ce qui donne
de quotient et
de reste, et l’on ferait
de sorte qu’en développant la puissance douzième de
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&(23)^{12}+66.33(4)^{2}(23)^{10}+495(33)^{2}(4)^{4}(23)^{8}+924(33)^{3}(4)^{6}(23)^{6}\\&+495(33)^{4}(4)^{8}(23)^{4}+66(33)^{5}(4)^{10}(23)^{2}+(33)^{6}(4)^{12},\\\\\mathrm {N} =&12.4(23)^{11}+220(33)(4)^{3}(23)^{9}+792(33)^{2}(4)^{5}(23)^{7}\\&+792(33)^{3}(4)^{7}(23)^{5}+220(33)^{4}(4)^{9}(23)^{3}+12(33)^{5}(4)^{11}23,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c8176ce01c3a3c91885fb81cf38b7011dade32)
on aura
![{\displaystyle \left(23\pm 4{\sqrt {33}}\right)^{n}=\mathrm {M} \pm \mathrm {N} {\sqrt {33}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e4c29044ba01bab850b010dbeaf604d797b506)
donc, substituant cette valeur dans les expressions de
et
on aura, pour la fraction cherchée,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {2M+11N}{M+6N}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb90e614983842373f4e731602086f316d9a7324)
64. Je vais terminer cette Remarque par une observation qui me paraît digne d’attention. Lorsque l’équation proposée a des diviseurs commensurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteront les racines de ces diviseurs seront nécessairement terminées ; et lorsque l’équation aura des diviseurs commensurables du second