61. On peut aussi remarquer que la valeur de
peut se déterminer par le moyen de celles de
et
sans avoir besoin d’un nouveau calcul.
En effet, ayant
![{\displaystyle x=\mathrm {{\frac {\varepsilon +{\sqrt {B}}}{E}}={\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edb60667edb21f9c359ecdc6071679f2ceab71d)
et de même
![{\displaystyle x_{\rho }=\mathrm {\frac {E_{\rho }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664267f4fa8fed17d348815e8a90ad3391e996a1)
on aura, par l’équation (G) du no 51,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {E}{{\sqrt {B}}-\varepsilon }} ={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }+l_{\rho -1}\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\rho }\right)}{\mathrm {L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b420c39a9113dfc1756088d0198ebadf2cd648)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {E\left[L_{\rho }E_{\rho }+L_{\rho -1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\rho }\right)\right]} =l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \right)+l_{\rho -1}\left[\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho }-(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon ){\sqrt {\mathrm {B} }}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52bc877a65038a7688af36501c07a89373ad266)
de sorte qu’en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle, et l’irrationnelle avec l’irrationnelle, on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho -1}={\frac {l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }-l_{\rho -1}(\varepsilon _{\rho }+\varepsilon )}{\mathrm {E} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4bfd00da16a7d4bf4b3ca5549859e93208474e)
![{\displaystyle \mathrm {L_{\rho }E_{\rho }-L_{\rho -1}} \varepsilon _{\rho }={\frac {-l_{\rho }\mathrm {E} _{\rho }\varepsilon +l_{\rho -1}(\mathrm {B} +\varepsilon \varepsilon _{\rho })}{\mathrm {E} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83012e0ba689e01e9815145d2b56b611a0449ee)
d’où, à cause de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho }={\frac {l_{\rho }(\varepsilon _{\rho }-\varepsilon )+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1}}{\mathrm {E} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c21fe971a4869d197772183b1e851847b5f784)
Or,
étant égal à
on aura
![{\displaystyle \varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{\mu +\varpi },\quad \mathrm {E_{\rho +1}=E_{\mu +\varpi +1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01666e65170ff3c3caf89cf2ff6b10fc1bf52742)
de sorte que
et
seront connus, quel que soit le quantième
.
62. Supposons, pour donner un exemple de l’application des formules précédentes, qu’on demande la racine carrée de
par une fraction continue.
Faisant
on aura l’équation
![{\displaystyle 3x^{2}-11=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b43796e24ba167c27cd0ec74f8c3936a58d92)