savoir, en mettant pour
sa valeur ci-dessus,
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +3}E_{\gamma +3}+\varepsilon _{\gamma +3}<E_{\gamma +3}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88e9656204863ef3922074dfff258471413d5a7)
d’où
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +3}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cbf7d9dfb191b9e725de0edc2809a3ee3d98c0)
Donc, puisque le nombre
doit être entier, il est clair qu’il ne pourra être égal qu’au nombre entier qui sera immédiatement plus petit que
ainsi
sera donné, et de là
le sera aussi, et comme
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma +2}={\frac {B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}}{E_{\gamma +3}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4879c98f56482427d74af37ac8e9b891f4b69dec)
il est clair que
sera aussi donné. Maintenant on aura
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\lambda _{\gamma +1}\mathrm {E} _{\gamma +1}-\varepsilon _{\gamma +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca31648175f0784477ba37b6fbd6d78bed860f7)
et par conséquent, à cause de ![{\displaystyle \varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0419c9d04dd1ca87f587e06e527d0ce87a650ed)
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +1}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d6171cdfafb202c576e7fa120ab8b52213ebc2)
Donc, pour que
soit entier positif tel qu’il doit être, il faudra que
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112f678b524004a6f7c0a81ed1683fc028bd2c7c)
par conséquent, à cause de
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}=B} -\varepsilon _{\gamma +1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9788feeef12fba2bd766f2532b66119ba59642)
il faudra que
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +1}<\mathrm {E} _{\gamma +2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce769ed2f0d660562cc1c7053daabb0be6c1f01a)
ou bien, en mettant pour
sa valeur ci-dessus,
![{\displaystyle \mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +2}E_{\gamma +2}+\varepsilon _{\gamma +2}<E_{\gamma +2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c155f3102322f1bf9e1c63f656cfe31cdc1fad81)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +2}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decccdafe40f998518af1fee68f84a5fa6bba9ba)
De sorte que le nombre
ne pourra être que le nombre entier qui