cité demeurent les mêmes en y changeant les signes de toutes les quantités
et du radical
de sorte qu’on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités ![{\displaystyle \mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d474ca6dbf642c38ccb4ac46445178c93abbe846)
avec des signes contraires.
57. Cela posé, je dis que, si deux termes correspondants quelconques des suites
sont donnés, tous les précédents dans les mêmes suites seront nécessairement donnés aussi.
Supposons, par exemple, que
et
soient donnés (on verra aisément que la démonstration est générale, quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci, en vertu des formules du no 52 et des conditions du numéro précédent. On aura d’abord
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +3}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32b93ff81ca5aac0d3edef58b08868d8e2625f7)
donc
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +2}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ec2b74dd4372888b199d6ad8cc3ebb84250c21)
mais on doit avoir
donc il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +3}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d653127a1f3e19eac7d26b3cd92b46a973d9336d)
On aura de même
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +1}=\lambda _{\gamma +2}\mathrm {E} _{\gamma +2}-\varepsilon _{\gamma +2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73daeac010825e163c796b22420a043de290b3d1)
d’où, à cause de
on tirera
![{\displaystyle \lambda _{\gamma +2}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88a1d6fda47c070ef537fe0ac75031362f25510)
mais il faut, par la nature de la fraction continue, que
soit un nombre entier positif ; donc il faudra qu’on ait
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01bc592d2ea7487262e143a62ab56a444ad771d)
or on a aussi
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma +2}E_{\gamma +3}=B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{\gamma +2}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +2}\right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43460a22c6040eea5d8d43e7a7cd0aebf93e7a9)
donc
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +2}<\mathrm {E} _{\gamma +3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5d3cccf7e79e5e47a517957713808bb3d781de)